102學測數學多選第8題詳解

已知 $a > 1 > b > 0$。 $(1)$ 因為 $a > 1$，所以 $-a < -1$。 對於小於 $-1$ 的實數，奇數次方中指數較小者其值較大（例如 $(-2)^7 = -128 > (-2)^9 = -512$）， 所以 $(-a)^7 > (-a)^9$。正確。 $(2)$ 因為 $0 < b < 1$，所以 $b^9 < b^7$。 取倒數得 $\frac{1}{b^9} > \frac{1}{b^7}$，即 $b^{-9} > b^{-7}$。正確。 $(3)$ 因為 $a > b$，所以 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$。 $\log_{10} x$ 是遞增函數，所以 $\log_{10}\frac{1}{a} < \log_{10}\frac{1}{b}$，與選項相反。錯誤。 $(4)$ 因為 $\log_a 1 = 0$ 且 $\log_b 1 = 0$，所以 $\log_a 1 = \log_b 1$，與選項的 $>$ 不符。錯誤。 $(5)$ 因為 $a > 1$ 且 $0 < b < 1$，所以 $\log_a b < 0$ 且 $\log_b a < 0$。 取 $a = 2$，$b = 0.25$，則 $\log_a b = \log_2 0.25 = -2$，$\log_b a = \log_{0.25} 2 = -0.5$， 此時 $\log_a b \ge \log_b a$ 不成立。錯誤。 故選 $(1)(2)$。