115學測數學A選填第14題詳解

向量 $(a,b)$ 與直線 $y=bx-1$ 垂直。 1. 因為直線 $y=bx-1$ 的方向向量為 $(1,b)$，所以垂直條件為 $$(a,b)\cdot(1,b)=a+b^2=0,$$ 即 $a=-b^2$。 2. 因此 $$a+b=-b^2+b=-\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}.$$ 3. 當 $b=\frac{1}{2}$ 時，$a+b$ 達到最大值 $\frac{1}{4}$。 故填 $\frac{1}{4}$。