115學測數學A選填第15題詳解

因為 $a,b,c$ 成等差，所以 $b-a=c-b$，即兩段 $x$ 坐標差相等。 三點 $(a,\log3a),(b,\log4b),(c,\log6c)$ 共線表示相鄰兩段斜率相等： $$\frac{\log4b-\log3a}{b-a}=\frac{\log6c-\log4b}{c-b}$$ 因為分母相等，分子也相等： $$\log\frac{4b}{3a}=\log\frac{6c}{4b}\implies\frac{4b}{3a}=\frac{6c}{4b}$$ 交叉相乘得 $16b^2=18ac$，即 $8b^2=9ac$。 令 $r=\frac{b}{a}>1$（因 $b>a$）。由等差關係 $c=2b-a=(2r-1)a$，代入 $8b^2=9ac$： $$8r^2=9(2r-1)\implies 8r^2-18r+9=0$$ 因式分解 $(4r-3)(2r-3)=0$，得 $r=\frac{3}{4}$ 或 $r=\frac{3}{2}$。因為 $b>a$ 所以 $r>1$，取 $r=\frac{3}{2}$。 故 $\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$。