113分科測驗數學甲選填第11題詳解

1. 令公差 $d=2$，首項 $a_3=t>0$，則 $a_9=t+6d=t+12$。 設 $b$ 為 $a_4$ 至 $a_8$ 中的某一項，即 $b=t+2m$，其中 $m=1,2,3,4,5$。 2. 因為 $\log_2 a_3,\log_2 b,\log_2 a_9$ 成等差數列， 所以 $2\log_2 b=\log_2 a_3+\log_2 a_9$， 即 $b^2=a_3 a_9$，代入得 $(t+2m)^2=t(t+12)$。 3. 展開：$t^2+4mt+4m^2=t^2+12t$， 化簡：$4mt+4m^2=12t$， 移項：$4m^2=12t-4mt=4t(3-m)$， 所以 $t=\frac{m^2}{3-m}$。 4. 因為 $t>0$，所以 $m<3$，故 $m=1$ 或 $m=2$。 5. 若 $m=2$，則 $t=\frac{4}{1}=4$，此時 $a_1=a_3-4=0$，與 $a_1\neq 0$ 矛盾。 若 $m=1$，則 $t=\frac{1}{2}$，$a_1=\frac{1}{2}-4=-\frac{7}{2}\neq 0$，符合條件。 因此 $a_3=\frac{1}{2}$，$a_9=a_3+12=\frac{1}{2}+12=\frac{25}{2}$。