113分科測驗數學甲選填第10題詳解

設圓 $\Gamma$ 的半徑為 $r$，令 $P=(r,0)$。 過 $P$ 且斜率為 $\frac{1}{2}$ 的直線方程式為 $y=\frac{1}{2}(x-r)$， 即 $x-2y-r=0$。 因為圓心 $(0,0)$ 到此直線的距離為 $$d=\frac{|0-0-r|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{r}{\sqrt{5}},$$ 所以弦長 $$\overline{PQ}=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{r^2-\frac{r^2}{5}}=2r\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{4r}{\sqrt{5}}.$$ 已知 $\overline{PQ}=1$，所以 $\frac{4r}{\sqrt{5}}=1$， 解得 $r=\frac{\sqrt{5}}{4}$。