112學測數學A選填第14題詳解

1. 除式 $x^2+(2-a)x-2a$ 可分解為 $(x+2)(x-a)$。 2. 因為餘式為常數 $6$，所以被除式 $f(x)=ax^2+(2a+b)x-12$ 在 $x=-2$ 與 $x=a$ 處的值皆為 $6$。 3. 由 $f(-2)=6$： $$a\cdot4+(2a+b)(-2)-12=6$$ $$4a-4a-2b-12=6\implies-2b=18\implies b=-9.$$ 4. 由 $f(a)=6$，代入 $b=-9$： $$a\cdot a^2+(2a-9)a-12=6$$ $$a^3+2a^2-9a-18=0$$ $$(a-3)(a^2+5a+6)=0\implies(a-3)(a+2)(a+3)=0.$$ 因為 $a>0$，所以 $a=3$。 5. 因此數對 $(a,b)=(3,-9)$。