94學測數學選填第12題詳解

我們使用多項式的長除法將 $x^5 + x^4 + x^3 + px^2 + 2x + q$ 除以 $x^2 + x + 2$： 1. 商的首項為 $x^3$： $$(x^5 + x^4 + x^3) - x^3(x^2 + x + 2) = -x^3$$ 此時餘下 $-x^3 + px^2 + 2x + q$。 2. 商的第二項為 $-x$： $$(-x^3 + px^2 + 2x) - (-x)(x^2 + x + 2) = (p+1)x^2 + 4x$$ 此時餘下 $(p+1)x^2 + 4x + q$。 3. 商的常數項為 $p+1$： $$((p+1)x^2 + 4x + q) - (p+1)(x^2 + x + 2) = (4 - (p+1))x + (q - 2(p+1))$$ 所得餘式為： $$(3-p)x + (q-2p-2)$$ 因題目要求為「整除」，故餘式必為零多項式，即其係數皆為 $0$： $$\begin{cases} 3 - p = 0 \\ q - 2p - 2 = 0 \end{cases}$$ 解得： $$p = 3,\text{ } q = 8$$ 故 $p=3, q=8$。