94學測數學多選第11題詳解

已知 $\overline{AB} = 10$，球面 $S$ 的球心為 $\overline{AB}$ 的中點 $O$，半徑為 $R = 5$。 滿足 $\overline{PA} + \overline{PB} = 14$ 的點 $P$ 在空間中的軌跡，是以 $A, B$ 為焦點，長軸長 $2a = 14$（半長軸 $a = 7$）的旋轉橢球面。 焦距為 $2c = \overline{AB} = 10 \implies c = 5$。 計算橢球的半短軸 $b$： $$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{7^2 - 5^2} = \sqrt{24} \approx 4.90$$ 此橢球面上的點 $P$ 到中心 $O$ 的距離 $d = \overline{OP}$ 的範圍為： $$b \le d \le a \implies \sqrt{24} \le d \le 7$$ 我們逐一檢驗選項中各點的位置之可能性： $(1)$ 錯：線段 $\overline{AB}$ 上的點 $Q$ 滿足 $\overline{QA} + \overline{QB} = \overline{AB} = 10 \ne 14$，故不可能落在線段 $\overline{AB}$ 上。 $(2)$ 對：直線 $AB$ 上且在線段 $\overline{AB}$ 之外的點，其滿足軌跡的為橢球長軸的兩個頂點。此時 $d = a = 7 > 5$，符合軌跡方程式，故可能落在直線 $AB$ 上但不在線段 $\overline{AB}$ 上。 $(3)$ 對：球面 $S$ 上的點滿足 $d = 5$。由於 $\sqrt{24} \approx 4.90 < 5 < 7$，此球面與該橢球面相交成一個圓，交點即落在球面 $S$ 上，故可能。 $(4)$ 對：球 $S$ 的內部點滿足 $d < 5$。在橢球短軸頂點處，距離 $d = \sqrt{24} \approx 4.90 < 5$，這些點落在球內且不在線段 $\overline{AB}$ 上，故可能。 $(5)$ 對：球 $S$ 的外部點滿足 $d > 5$。在橢球面上除了直線 $AB$ 的頂點（$d = 7$）之外，尚有許多點滿足 $5 < d < 7$。這些點皆在球 $S$ 外部且不在直線 $AB$ 上，故可能。 故選 $(2)(3)(4)(5)$。