111學測數學A多選第12題詳解

設 $g(x)$ 為首項係數為正的二次式，令其頂點 $y$ 坐標為 $k$（即最小值為 $k$），則可寫 $g(x)=a(x-h)^2+k$，$a>0$。 由餘式條件 $(g(x))^2=q(x)f(x)+g(x)$，移項得 $$g(x)(g(x)-1)=q(x)f(x)$$ 因此 $f(x)$ 整除 $g(x)(g(x)-1)$。因為餘式的次數必須小於除式的次數，而 $\deg g=2$，所以 $\deg f>2$。 又 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸無交點，因此 $f(x)$ 沒有實根，其所有不可約因式皆為無實根的二次式。因為 $\deg f>2$ 且 $\deg f$ 為偶數（奇次實係數多項式必有實根），所以 $\deg f\ge 4$，$f(x)$ 至少含有兩個相異的不可約二次因式。 $f(x)$ 的每個不可約二次因式的共軛虛根都是 $g(x)(g(x)-1)$ 的根，因此每個共軛虛根對應到 $g(\alpha)=0$ 或 $g(\alpha)=1$。$g(x)$ 本身是二次式，它的兩個根（可能為共軛虛根）滿足 $g=0$；同理 $g(x)-1$ 的兩個根滿足 $g=1$。 因為 $f(x)$ 需要至少兩組相異的共軛虛根，而 $g$ 和 $g-1$ 各只能提供一組共軛虛根，所以必須兩組都取，即 $g$ 和 $g-1$ 皆須有共軛虛根（無實根）。 對二次式 $g(x)=a(x-h)^2+k$： $g$ 無實根 $\iff$ 判別式 $<0\iff k>0$。 而 $g-1=a(x-h)^2+(k-1)$ 無實根 $\iff k-1>0\iff k>1$。 因此必須 $k>1$。選項中 $\frac{\sqrt{2}}{2}<1$ 且 $1=1$，皆不滿足 $k>1$，故 $(1)(2)$ 不可能是頂點的 $y$ 坐標。 故選 $(1)(2)$。