112分科測驗數學甲選填第10題詳解

1. 兩平面 $E_1:2x+3y+6z=10$ 與 $E_2:2x+3y+6z=-4$ 平行，共同法向量為 $\vec{n}=(2,3,6)$。 兩平面距離為 $\frac{|10-(-4)|}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=\frac{14}{7}=2$。 2. 直線 $L$ 的方向向量 $\vec{v}=(1,-2,2)$，$|\vec{v}|=3$。 $\vec{n}\cdot\vec{v}=2-6+12=8$。 3. 設 $L$ 與 $E_1,E_2$ 的交點分別為 $P,Q$，$\overline{PQ}$ 為所求線段長。 因為 $\vec{v}$ 與 $\vec{n}$ 的夾角 $\phi$ 之餘弦為 $$\cos\phi=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|}=\frac{8}{7\cdot3}=\frac{8}{21}.$$ 線段 $\overline{PQ}$ 在法向量方向的投影長等於兩平面距離 $2$，所以 $$\overline{PQ}\cdot\cos\phi=2\implies\overline{PQ}=\frac{2}{\cos\phi}=\frac{2}{8/21}=\frac{21}{4}.$$