112分科測驗數學甲選填第9題詳解

1. 因為 $\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=3+4=7=\overline{AB}^2$，所以 $\triangle ABC$ 之直角在 $C$。 2. 取 $C=(0,0)$，$A=(\sqrt{3},0)$，$B=(0,2)$，建立坐標系。 3. 因為 $M$ 在 $\overline{AB}$ 外側，使 $\triangle ABM$ 是頂角 $120^\circ$ 的等腰三角形，$\overline{AB}=\sqrt{7}$，所以 從 $\overline{AB}$ 中點到 $M$ 的高為 $\frac{\overline{AB}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$。 取背向 $C$ 的方向，可得 $M=\left(\frac{5}{2\sqrt{3}},\frac{3}{2}\right)$。 4. 同理，$N$ 在 $\overline{AC}$ 外側，使 $\triangle ACN$ 是頂角 $120^\circ$ 的等腰三角形，$\overline{AC}=\sqrt{3}$， 因此 $N$ 位於 $\overline{AC}$ 下方，$N=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$。 5. 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{NM}=\left(\frac{5}{2\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},2\right)$。 $$\overline{MN}^2=\frac{1}{3}+4=\frac{13}{3}.$$