115學測數學A選填第17題詳解

直角 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB=90^\circ$，$D$ 在 $\overline{AB}$ 上，$\angle BCD=2\angle ACD$，$\overline{BC}=2\overline{BD}$。 1. 設坐標：$A=(0,0)$，$B=(1,0)$，$C=(0,c)$，$D=(k,0)$（$0<k<1$）。令 $\alpha=\angle ACD$，則 $\angle BCD=2\alpha$，$\angle ACB=3\alpha$。 2. 由坐標： $$\tan\alpha=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}=\frac{k}{c},$$ $$\tan3\alpha=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{1}{c}.$$ 3. 令 $t=\tan\alpha=\frac{k}{c}$。因為三倍角公式 $\tan3\alpha=\frac{3t-t^3}{1-3t^2}$，且 $\tan3\alpha=\frac{1}{c}=\frac{t}{k}$，所以 $$\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=\frac{t}{k}.$$ 消去 $t$（$t\neq0$）：$\frac{3-t^2}{1-3t^2}=\frac{1}{k}$，即 $k=\frac{1-3t^2}{3-t^2}$。 4. 又條件 $\overline{BC}=2\overline{BD}$：因為 $\overline{BC}=\sqrt{1^2+c^2}$，$\overline{BD}=1-k$，所以 $$\sqrt{1+c^2}=2(1-k).$$ 又 $c=\frac{k}{t}$ 且 $k=\frac{1-3t^2}{3-t^2}$。代入化簡後得 $k=\frac{3}{11}$。 故填 $\frac{3}{11}$。