115學測數學A多選第10題詳解

設 $A$ 為原點，$B=(2,-6)$，$D=(1,5)$。因為 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$，可設 $\overset{\large\rightharpoonup}{DC}=k\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$（$k>0$），則 $C=\overset{\large\rightharpoonup}{AD}+k\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(1+2k,\;5-6k)$。 因為 $$\left|\det(\overset{\large\rightharpoonup}{AB},\overset{\large\rightharpoonup}{AD})\right|=|2\cdot5-(-6)\cdot1|=16$$ 所以 $\triangle ABD$ 面積為 $8$，故選項 $(2)$ 錯誤。 梯形對角線交點 $E$ 滿足 $\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AB}+\overline{DC}}=\frac{1}{1+k}$。因為 $\triangle ABE$ 與 $\triangle ABC$ 共用底 $\overline{AB}$，面積比為 $\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=\frac{3}{8}$，所以 $\frac{1}{1+k}=\frac{3}{8}$，得 $k=\frac{5}{3}$。 因此 $$\overset{\large\rightharpoonup}{AC}=\overset{\large\rightharpoonup}{AD}+\frac{5}{3}\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(\frac{13}{3},-5)$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{AE}=\frac{3}{8}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}=(\frac{13}{8},-\frac{15}{8})$$ 故選項 $(3)$ 錯誤。 $$\cos\angle BAD=\frac{(2,-6)\cdot(1,5)}{\sqrt{40}\sqrt{26}}=\frac{-28}{4\sqrt{65}}=-\frac{7\sqrt{65}}{65}$$ 故選項 $(1)$ 正確。 因為四邊形 $ABCD$ 面積為 $\triangle ABD$ 面積的 $1+k$ 倍，所以面積為 $8(1+\frac{5}{3})=\frac{64}{3}$，故選項 $(4)$ 錯誤。 $$\overset{\large\rightharpoonup}{BC}=\overset{\large\rightharpoonup}{AD}+(k-1)\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(1,5)+\frac{2}{3}(2,-6)=(\frac{7}{3},1)$$ 因為 $\overline{BC}=\frac{\sqrt{58}}{3}<\frac{8}{3}$，故選項 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(5)$。