114學測數學A多選第11題詳解

$\triangle ABC$：$\overline{AB}=6$，$\overline{AC}=5$，$\overline{BC}=4$。$D$ 為 $\overline{AB}$ 中點，$P$ 為 $\angle ABC$ 平分線與 $\overline{CD}$ 的交點。 因為由餘弦定理 $\cos\angle BAC=\frac{36+25-16}{2\times6\times5}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$，所以選項 $(3)$ 正確。 角平分線 $\overline{BE}$ 滿足 $\overline{AE}:\overline{EC}=\overline{AB}:\overline{BC}=6:4=3:2$。 在 $\triangle ACD$ 上用 Menelaus 定理（截線過 $B,P,E$）： $$\frac{\overline{AB}}{\overline{BD}}\cdot\frac{\overline{DP}}{\overline{PC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1$$ 代入 $\frac{\overline{AB}}{\overline{BD}}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{2}{3}$，得 $2\cdot\frac{\overline{DP}}{\overline{PC}}\cdot\frac{2}{3}=1$，故 $\frac{\overline{DP}}{\overline{PC}}=\frac{3}{4}$，$\overline{CP}:\overline{PD}=4:3$。所以選項 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：以 $A$ 為原點，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\frac{4}{7}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{4}{7}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}$。因為與選項係數不同，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(4)$：因為 $\triangle ABC$ 面積 $=\frac{1}{2}\times6\times5\times\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$，$\triangle ACD=\frac{1}{2}\triangle ABC=\frac{15\sqrt{7}}{8}$，$\triangle ACP=\frac{4}{7}\triangle ACD=\frac{15\sqrt{7}}{14}$，所以 $(4)$ 正確。 選項 $(5)$：因為 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{2}{7}\times6\times5\times\frac{3}{4}+\frac{3}{7}\times25=\frac{45}{7}+\frac{75}{7}=\frac{120}{7}$，所以 $(5)$ 正確。 故選 $(3)(4)(5)$。