114學測數學A多選第10題詳解

$\Gamma:y=\sin\pi x$，$0\le x\le3$。水平線 $L:y=k$ 與 $\Gamma$ 有三交點滿足 $x_1<x_2<1<x_3$。 選項 $(1)$：$x_1,x_2$ 在 $x\in(0,1)$ 且 $\sin\pi x>0$，所以 $k>0$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：$\sin\pi x$ 在 $x\in[0,3]$ 上有一個完整週期（$x\in[0,2]$）加半個週期（$x\in[2,3]$）。當 $0<k<1$ 時 $y=k$ 與 $\Gamma$ 在 $x\in[0,2]$ 內有 $2$ 個交點（對稱於 $x=0.5$ 和 $x=1.5$），在 $x\in[2,3]$ 內另有 $2$ 個交點（對稱於 $x=2.5$），共 $4$ 個，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為 $x_1,x_2$ 對稱於 $x=\frac{1}{2}$，所以 $x_1+x_2=1$，非 $<1$。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：設 $x_1=\alpha$、$x_2=1-\alpha$、$x_3=2+\alpha$（$0<\alpha<\frac{1}{2}$）。$2\overline{PQ}=\overline{QR}$ 即 $2(1-2\alpha)=1+2\alpha$，解得 $\alpha=\frac{1}{6}$，$k=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：因為實際交點為 $4$ 個：$\alpha,1-\alpha,2+\alpha,3-\alpha$，總和為 $6>5$，所以 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(4)(5)$。