115學測數學A多選第9題詳解

$T=50+10(\frac{S-\mu}{\sigma})$。兩科 $\mu=60$，數學 $\sigma=12$，英文 $\sigma=8$。 選項 $(1)$：英文 $S=52$ 時 $T=50+10(\frac{52-60}{8})=50-10=40$，所以 $(1)$ 正確。 選項 $(2)$：數學 $T=50+10(\frac{S-60}{12})=50+\frac{5}{6}(S-60)=\frac{5}{6}S$。因為當 $S>0$ 時 $T=\frac{5}{6}S<S$，$T$ 分數小於原始成績，所以 $(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$T$ 分數是標準化後的量，同一 $T$ 值在兩科中對應不同的原始分數位置。因為兩科 $T$ 分數的平均皆為 $50$，與原始平均無關，所以 $(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：數學 $T=40$ 時 $S=\frac{6}{5}\times40=48$；英文 $T=40$ 時 $S=52$，所以 $(4)$ 正確。 選項 $(5)$：因為標準化公式中的 $(\frac{S-\mu}{\sigma})$ 項在兩科中各自中心化，$T$ 分數的平均皆為 $50$，不因原始平均而異，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)(4)$。