115學測數學A多選第8題詳解

$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}$，$A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{bmatrix}$。 計算 $A^2=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}$，而 $2A+I=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}=A^2$。因為 $A^2=2A+I$，所以 $A^{n+2}=2A^{n+1}+A^n$，各元素滿足相同的二階遞迴關係 $x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$。 選項 $(1)$：$b_1=1$、$c_1=1$，由遞迴 $b_2=2b_1+b_0=2$、$c_2=2c_1+c_0=2$。因為 $b_2=c_2$ 成立，但選項若宣稱 $b_2\neq c_2$ 則錯誤。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：因為 $A^2=2A+I$ 成立，所以 $(2)$ 正確。 選項 $(3)$：因為遞迴關係 $a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$、$b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}$ 等皆成立，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$：因為 $A$ 為對稱矩陣，$A^n$ 亦對稱，所以 $b_n=c_n$ 恆成立。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：$\det A=-1$。因為 $A^n$ 的各元素可經由特徵值 $\lambda=1\pm\sqrt{2}$ 表示為 $x_n=\alpha(1+\sqrt{2})^n+\beta(1-\sqrt{2})^n$ 形式，所以 $(5)$ 正確。 故選 $(2)(3)(4)(5)$。