114分科測驗數學乙多選第7題詳解

先算出幾個會重複用到的乘積。因為 $$A^2=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}=A,\; B^2=\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}=B,$$ $$AB=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}=B,\; BA=\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}=A.$$ 1. 選項 $(1)$ 說 $A^2=A$。因為上面已算得 $A^2=A$，所以 $(1)$ 正確。 2. 選項 $(2)$ 說 $A+B=B+A$。因為矩陣加法是逐項相加，加法本身可交換，所以 $(2)$ 正確。 3. 選項 $(3)$ 說 $AB=BA$。因為 $AB=B$ 而 $BA=A$，兩者不相等，所以 $(3)$ 錯誤。 4. 選項 $(4)$ 說 $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$。因為矩陣乘法不可交換，展開只能寫成 $$(A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2=A-B-A+B=O,$$ 而右式為 $A^2-2AB+B^2=A-2B+B=A-B\ne O$，所以 $(4)$ 錯誤。 5. 選項 $(5)$ 說 $(A+B)^2=2(A+B)$。因為 $$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B+A+B=2(A+B),$$ 所以 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(2)(5)$。