114分科測驗數學乙多選第8題詳解

因為三角形內角和為 $180^\circ$，所以 $\angle B=180^\circ-91^\circ-29^\circ=60^\circ$。以下用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 與餘弦定理判斷各選項。 1. 選項 $(1)$ 說 $a^2>b^2+c^2$。因為由餘弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 91^\circ$，而 $91^\circ$ 為鈍角使 $\cos 91^\circ<0$，所以 $-2bc\cos91^\circ>0$，得 $a^2>b^2+c^2$，$(1)$ 正確。 2. 選項 $(2)$ 說 $\frac{c}{a}>\sin 29^\circ$。因為由正弦定理 $\frac{c}{a}=\frac{\sin 29^\circ}{\sin 91^\circ}$，而 $\sin 91^\circ<1$，所以除以一個小於 $1$ 的正數會變大，得 $\frac{c}{a}>\sin 29^\circ$，$(2)$ 正確。 3. 選項 $(3)$ 說 $\frac{b}{a}>\cos 29^\circ$。因為 $\frac{b}{a}=\frac{\sin 60^\circ}{\sin 91^\circ}$ 且 $\cos 29^\circ=\sin 61^\circ$，所以此式等價於 $\sin 60^\circ>\sin 61^\circ\sin 91^\circ$。由積化和差 $$\sin 61^\circ\sin 91^\circ=\dfrac{1}{2}\left(\cos 30^\circ+\cos 28^\circ\right),$$ 而左式 $\sin 60^\circ=\cos 30^\circ$，所以比較式化為 $\cos 30^\circ$ 與 $\cos 28^\circ$ 的大小。又因為餘弦在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 之間遞減，$\cos 30^\circ<\cos 28^\circ$，所以原不等式不成立，$(3)$ 錯誤。 4. 選項 $(4)$ 說 $\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}<\sqrt{3}$。因為由餘弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，所以左式等於 $2\cos 29^\circ$；又 $\sqrt{3}=2\cos 30^\circ$，而餘弦遞減使 $\cos 29^\circ>\cos 30^\circ$，所以左式反而大於 $\sqrt{3}$，$(4)$ 錯誤。 5. 選項 $(5)$ 說外接圓半徑小於 $c$。因為由正弦定理 $R=\frac{c}{2\sin 29^\circ}$，而 $29^\circ<30^\circ$ 使 $\sin 29^\circ<\frac{1}{2}$，所以分母 $2\sin 29^\circ<1$，得 $R>c$，$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)$。