112學測數學A單選第2題詳解

1. 設 $C$ 在單位圓上，令 $C=(\cos t,\sin t)$，其中 $0<t<\frac{\pi}{2}$。 2. 因為 $C$ 處的切線方程式為 $x\cos t+y\sin t=1$，所以分別令 $y=0$ 與 $x=0$： $$D=(\sec t,0),\;E=(0,\csc t).$$ 3. 在 $\triangle OEC$ 中，$\angle OEC=\theta$。過 $C$ 作 $y$ 軸垂線，垂足為 $H$，則 $\overline{CH}=\cos t$， $\overline{EH}=\csc t-\sin t$。 因為 $\angle OEC=\theta$，所以 $$\tan\theta=\frac{\cos t}{\csc t-\sin t}=\frac{\cos t}{\frac{1}{\sin t}-\sin t}=\frac{\cos t\sin t}{1-\sin^2 t}=\frac{\cos t\sin t}{\cos^2 t}=\tan t.$$ 4. 計算 $\overline{CD}$ 的長度： $$\begin{aligned} \overline{CD}&=\sqrt{(\sec t-\cos t)^2+(0-\sin t)^2} \\[4pt] &=\sqrt{\left(\frac{1}{\cos t}-\cos t\right)^2+\sin^2 t} \\[4pt] &=\sqrt{\left(\frac{1-\cos^2 t}{\cos t}\right)^2+\sin^2 t} \\[4pt] &=\sqrt{\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}+\sin^2 t} \\[4pt] &=\sqrt{\frac{\sin^4 t+\sin^2 t\cos^2 t}{\cos^2 t}} \\[4pt] &=\sqrt{\frac{\sin^2 t(\sin^2 t+\cos^2 t)}{\cos^2 t}} \\[4pt] &=\sqrt{\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}=\tan t. \end{aligned}$$ 5. 由步驟 3 和步驟 4 得 $\tan\theta=\tan t=\overline{CD}$。 因為 $C$ 在單位圓第一象限上移動，$t\in(0,\frac{\pi}{2})$， $\overline{CD}=\tan t$ 的範圍為 $(0,\infty)$， 所以 $\tan\theta$ 的最大值不存在（可任意大）。 故選 $(5)$。