111學測數學A非選第20題詳解

承第 $19$ 題。 1. 掃描棒在第一象限掃過的區域 $\Omega$ 包含兩部分：環形區域 $BCDE$ 和三角形區域 $BEA$。 2. 環形區域 $BCDE$ 的面積為扇形 $OBC$ 減去扇形 $ODE$：因為扇形 $OBC$ 的半徑為 $\overline{OB}=2$、圓心角為 $\frac{\pi}{3}$，扇形 $ODE$ 的半徑為 $\overline{OD}=\sqrt{3}$、圓心角也為 $\frac{\pi}{3}$，所以 $$S_{BCDE}=\frac{1}{2}\cdot2^2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{3})^2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}.$$ 3. 區域 $BEA$ 的面積：因為 $\overline{OA}=\sqrt{3}$，$\overline{OB}=2$，$\angle AOB=30^\circ=\frac{\pi}{6}$，由幾何關係可得 $$S_{BEA}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{4}.$$ 4. 因此 $$\Omega=S_{BCDE}+S_{BEA}=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{12}.$$ 5. $R$ 為掃描棒掃過的整個區域，面積為 $\frac{5\pi}{12}$。 故 $\Omega=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{12}$，$R=\frac{5\pi}{12}$。