113學測數學A單選第6題詳解

1. 建立坐標系：取 $B=(0,0)$、$A=(7,0)$，並令北方為 $y$ 軸正向。因為 $A$ 向西偏北 $\theta$ 發射，所以彈道方向為 $(-\cos\theta,\sin\theta)$；因為 $B$ 向東偏北 $\theta$ 發射，所以彈道方向為 $(\cos\theta,\sin\theta)$。 2. 因為兩彈皆行進 $9$ 公里後命中同一點 $P$，所以 $$(7-9\cos\theta,\;9\sin\theta)=(9\cos\theta,\;9\sin\theta).$$ 3. 比較 $x$ 坐標，所以 $7-9\cos\theta=9\cos\theta$，得 $\cos\theta=\frac{7}{18}$。 4. 因為 $\theta$ 為銳角，$\frac{\theta}{2}$ 也在第一象限，所以由半角公式取正號： $$\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{7}{18}}{2}}=\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{5}{6},\; \sin^2\dfrac{\theta}{2}=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}.$$ 5. 因為 $A$ 改向西偏北 $\frac{\theta}{2}$ 發射且同樣行進 $9$ 公里，所以 $$Q=\left(7-9\cos\dfrac{\theta}{2},\;9\sin\dfrac{\theta}{2}\right)=\left(7-\dfrac{15}{2},\;9\sin\dfrac{\theta}{2}\right)=\left(-\dfrac{1}{2},\;9\sin\dfrac{\theta}{2}\right).$$ 6. 因此 $$\overline{BQ}^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+81\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{4}+81\times\dfrac{11}{36}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{99}{4}=25,$$ 所以 $\overline{BQ}=5$ 公里。 故選 $(3)$。