112學測數學B多選第9題詳解

$a=6$ 與 $b=\frac{20}{3}$ 是有理數，$c=2\sqrt{10}$ 是無理數，$d$ 依題意也是有理數。先排出三數的大小：由 $6^2=36$、$(2\sqrt{10})^2=40$、$(\frac{20}{3})^2=\frac{400}{9}>40>36$，所以 $a<c<b$。 選項 $(1)$：$a+b+c+d$ 中 $a,b,d$ 為有理數，其和為有理數，加上無理數 $c$ 後必為無理數。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：若 $d=0$，則 $abcd=0$ 為有理數。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：距離條件為 $|d-2\sqrt{10}|=2\sqrt{10}+6$。取負的一支：$d=2\sqrt{10}-(2\sqrt{10}+6)=-6$，為有理數，符合題意。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$A$ 與 $B$ 的中點坐標為 $\frac{1}{2}(6+\frac{20}{3})=\frac{19}{3}$。因為 $(\frac{19}{3})^2=\frac{361}{9}>40=(\frac{360}{9})=(2\sqrt{10})^2$，所以中點在 $C$ 的右邊。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：條件為 $|x-\frac{20}{3}|<8$，解得 $-\frac{4}{3}<x<\frac{44}{3}$。正整數為 $1$ 至 $14$ 共 $14$ 個（$14<\frac{44}{3}<15$），負整數只有 $-1$（$-2<-\frac{4}{3}<-1$）。$(5)$ 正確。 故選 $(3)(4)(5)$。