112學測數學B多選第8題詳解

1. 因為看板從某甲第一次經過時開始依 $A,B,A,B,\ldots$ 輪播、每段各 $T$ 分鐘，所以 $A$ 在第 $0,2T,4T,\ldots$ 分鐘開始播，$B$ 在第 $T,3T,5T,\ldots$ 分鐘開始播。 2. 因為某甲在第 $30$ 分鐘回到該處時看到 $B$ 恰好開始播放，所以存在非負整數 $k$ 使 $$30=(2k+1)T.$$ 3. 因此 $T$ 必須整除 $30$，而且商 $\frac{30}{T}$ 必須是奇數。 4. 逐一檢視選項： 選項 $(1)$ 的 $T=15$ 得 $\frac{30}{15}=2$ 為偶數，不合。 選項 $(2)$ 的 $T=10$ 得 $\frac{30}{10}=3$ 為奇數，可行。 選項 $(3)$ 的 $T=8$ 無法整除 $30$，不合。 選項 $(4)$ 的 $T=6$ 得 $\frac{30}{6}=5$ 為奇數，可行。 選項 $(5)$ 的 $T=5$ 得 $\frac{30}{5}=6$ 為偶數，不合。 故選 $(2)(4)$。