紅燈：亮 $3$ 秒暗 $1$ 秒亮 $2$ 秒（週期 $6$ 秒），暗在 $[3,4)$。
綠燈：亮 $6$ 秒暗 $2$ 秒（週期 $8$ 秒），暗在 $[6,8)$。
藍燈：亮 $k$ 秒暗 $(15-k)$ 秒（週期 $15$ 秒），暗在 $[k,15)$。
1. 求紅燈與綠燈同時暗的時間段。因為紅燈週期 $6$，綠燈週期 $8$，最小公倍數為 $24$ 秒。在 $[0,24)$ 內，紅暗段 $[3,4)$、$[9,10)$、$[15,16)$、$[21,22)$；綠暗段 $[6,8)$、$[14,16)$、$[22,24)$。兩者重疊為 $[15,16)$。
因為紅綠同暗段每 $24$ 秒重複一次，所以在 $[0,120)$（$120$ 是 $6,8,15$ 的最小公倍數）內有：$[15,16)$、$[39,40)$、$[63,64)$、$[87,88)$、$[111,112)$。
2. 藍燈暗段為 $[k+15j,\;15+15j)$，$j=0,1,2,\ldots$。在 $[0,120)$ 內有 $j=0$ 到 $7$，共 $8$ 段。
3. 因為面板一直有燈亮著，所以紅綠同暗段必須被藍燈的亮段覆蓋，即藍燈的暗段不能與紅綠同暗段重疊。逐一檢查 $k$ 從 $1$ 開始：
當 $k\le12$ 時，藍暗段長 $15-k\ge3$，且 $k+15j$ 會推移到與某個紅綠同暗段重疊的位置，都會發生重疊。
當 $k=13$ 時，藍暗段為 $[13,15)$、$[28,30)$、$[43,45)$、$[58,60)$、$[73,75)$、$[88,90)$、$[103,105)$、$[118,120)$。這些段與紅綠同暗段皆不重疊。
因此 $k$ 的最小值為 $13$。
故填 $13$。