114分科測驗數學甲非選第17題詳解

1. $\Gamma$ 繞 $x$ 軸旋轉所得旋轉體體積為 $$V=\pi\int_{-1}^{1} \bigl(f(x)\bigr)^2\,dx =\pi\int_{-1}^{1} (3ax^2+1-a)^2\,dx.$$ 2. 展開被積函數： \begin{align*} (3ax^2+1-a)^2 &=9a^2x^4+6ax^2(1-a)+(1-a)^2 \\[4pt] &=9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2. \end{align*} 3. 逐項積分： \begin{align*} \int_{-1}^{1} x^4\,dx&=\left[\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{5},\\[4pt] \int_{-1}^{1} x^2\,dx&=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3},\\[4pt] \int_{-1}^{1} 1\,dx&=2. \end{align*} 4. 所以 \begin{align*} \frac{V}{\pi} &=9a^2\cdot\frac{2}{5}+6a(1-a)\cdot\frac{2}{3}+(1-a)^2\cdot 2\\[4pt] &=\frac{18}{5}a^2+4a(1-a)+2(1-2a+a^2)\\[4pt] &=\frac{18}{5}a^2+4a-4a^2+2-4a+2a^2\\[4pt] &=\Bigl(\frac{18}{5}-4+2\Bigr)a^2+2\\[4pt] &=\frac{8}{5}a^2+2. \end{align*} 因此 $V=\pi\bigl(2+\frac{8}{5}a^2\bigr)$。 5. 因為 $V$ 的表達式中含有 $a^2$，且 $a$ 在 $-\frac{1}{2}\le a\le 1$ 範圍內變動時 $a^2$ 會隨之改變， 所以旋轉體體積不恆相等。 在 $-\frac{1}{2}\le a\le 1$ 中，$a^2$ 的最大值發生在 $a=1$ 處（此時 $a^2=1$）， 此時 $V$ 有最大值： $$V_{\max}=\pi\Bigl(2+\frac{8}{5}\Bigr)=\frac{18\pi}{5}.$$