114分科測驗數學甲非選第16題詳解

由第 $15$ 題，在 $-\frac{1}{2}\le a\le 1$ 時， $f(x)=3ax^2+1-a\ge 0$ 對所有 $x\in[-1,1]$ 成立。 因此 $\Gamma$ 在 $-1\le x\le 1$ 上與 $x$ 軸所圍面積可直接用定積分計算。 \begin{align*} \int_{-1}^{1} f(x)\,dx &=\int_{-1}^{1} (3ax^2+1-a)\,dx \\[4pt] &=3a\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}+(1-a)\bigl[x\bigr]_{-1}^{1} \\[4pt] &=3a\cdot\frac{2}{3}+(1-a)\cdot 2 \\[4pt] &=2a+2-2a=2. \end{align*} 因為積分結果恆為 $2$，與 $a$ 無關， 所以 $\Gamma$ 在 $-1\le x\le 1$ 與 $x$ 軸所圍有界區域的面積為 $2$。