114分科測驗數學甲非選第15題詳解

$f(x)=3ax^2+1-a$，需證在 $-\frac{1}{2}\le a\le 1$ 時， 對所有 $x\in[-1,1]$ 皆有 $f(x)\ge 0$。 1. 若 $a\ge 0$： 因為 $3ax^2\ge 0$ 且 $1-a\ge 0$（因 $a\le 1$）， 所以 $f(x)=3ax^2+1-a\ge 1-a\ge 0$。 2. 若 $-\frac{1}{2}\le a<0$： 此時二次函數開口向下，對稱軸為 $x=0$（$y$ 軸）， 在閉區間 $[-1,1]$ 上的最小值發生在端點 $x=\pm 1$。 $$f(\pm 1)=3a(\pm 1)^2+1-a=3a+1-a=1+2a.$$ 因為 $a\ge-\frac{1}{2}$，所以 $1+2a\ge 1+2(-\frac{1}{2})=0$， 因此 $f(x)\ge f(\pm 1)\ge 0$ 對所有 $x\in[-1,1]$ 成立。 綜合以上，對所有 $-\frac{1}{2}\le a\le 1$， 函數 $f(x)$ 在閉區間 $[-1,1]$ 上恆非負。