115分科測驗數學乙非選第15題詳解

📅 115 年 📝 分科測驗數學乙第 15 題題型：非選課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：最小值 $24$，產量 $6$ 公斤

本題考點：二次函數、函數模型、微積分、配方法

13-15 題為題組

某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即平均變動成本函數為 $A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}$。今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x)=x^3-12x^2+60x+42$，其中 $0\le x\le 15$。根據上述，試回答下列問題。

試求此藥廠的平均變動成本函數 $A(x)$ 的最小值，並求此時藥廠產量為多少公斤？（非選擇題，$6$ 分）

二次函數函數模型微積分

解題手法配方法〔AI 推測〕

答案

最小值 $24$，產量 $6$ 公斤

詳解

由第 $14$ 題，$A(x) = x^2 - 12x + 60$（$0 < x \le 15$）。對 $A(x)$ 配方： $$A(x) = (x^2 - 12x + 36) + 24 = (x-6)^2 + 24.$$ 因為 $(x-6)^2 \ge 0$，所以 $A(x) \ge 24$，當 $x = 6$ 時等號成立。且 $x = 6$ 在定義域 $0 < x \le 15$ 內。因此 $A(x)$ 的最小值為 $24$（萬元／公斤），此時產量為 $6$ 公斤。

題目來源：民國115年分科測驗數學乙第15題（來源PDF第7頁）

資料版本：2026-07-14（commit 7e9e94ad）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈115分科測驗數學乙非選第15題詳解〉，資料版本 2026-07-14，https://twmath.com/questions/115_0XB_q15

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