111分科測驗數學甲非選第16題詳解

由第 $15$ 題，$f'(x) = \frac{-16(9-2x)}{(9x-x^2)^2}$。 因為定義域為 $1<x<8$，分母 $(9x-x^2)^2 = [x(9-x)]^2 > 0$， 所以 $f'(x)$ 的正負號由分子 $-16(9-2x)$ 決定。 1. 當 $9-2x > 0$ 即 $x < \frac{9}{2}$ 時，$f'(x) < 0$， 所以 $f(x)$ 在區間 $(1,\frac{9}{2})$ 嚴格遞減。 2. 當 $9-2x < 0$ 即 $x > \frac{9}{2}$ 時，$f'(x) > 0$， 所以 $f(x)$ 在區間 $(\frac{9}{2},8)$ 嚴格遞增。 因為 $f(x)=\cos\theta$ 且 $\theta\in(0,\pi)$， $\cos\theta$ 在 $(0,\pi)$ 上為嚴格遞減函數。 所以 $\cos\theta$ 遞減對應 $\theta$ 遞增、$\cos\theta$ 遞增對應 $\theta$ 遞減。 $f(x)$ 在 $x=\frac{9}{2}$ 處由遞減轉遞增，故 $f(x)$ 在此處取得最小值， 對應 $\theta$ 取得最大值。 因此 $f(x)$ 在 $1<x<\frac{9}{2}$ 時遞減，在 $\frac{9}{2}<x<8$ 時遞增； 當 $x=\frac{9}{2}$ 時 $\overset{\large\rightharpoonup}{a}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{b}$ 的夾角 $\theta$ 最大。