111分科測驗數學甲非選第17題詳解

📅 111 年 📝 分科測驗數學甲第 17 題題型：非選課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：官方評分原則：$f(5)=-0.2$、$f'(5)=0.04$，故 $f(4.96)\approx -0.2016$。

本題考點：導函數應用、平面向量、微積分、公式代入

15-17 題為題組

考慮坐標平面上之向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{a}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{b}$ 滿足 $|\overset{\large\rightharpoonup}{a}|+|\overset{\large\rightharpoonup}{b}|=9$ 以及 $|\overset{\large\rightharpoonup}{a}-\overset{\large\rightharpoonup}{b}|=7$。若令 $|\overset{\large\rightharpoonup}{a}|=x$，其中 $1<x<8$，且令 $\overset{\large\rightharpoonup}{a}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{b}$ 的夾角為 $\theta$，則利用向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{a}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{b}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{a}-\overset{\large\rightharpoonup}{b}$ 所形成的三角形，可將 $\cos\theta$ 以 $x$ 表示成 $\dfrac{c}{9x-x^2}+d$，其中 $c,d$ 為常數且 $c>0$。令此表示式為 $f(x)$，且其定義域為 $\{x\mid 1<x<8\}$。試回答下列問題。

利用 $f(x)$ 的一次估計（一次近似），求當 $x=4.96$ 時，$\cos\theta$ 約為多少？（非選擇題，$4$ 分）

導函數應用平面向量微積分

解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

官方評分原則：$f(5)=-0.2$、$f'(5)=0.04$，故 $f(4.96)\approx -0.2016$。

答案依 PDF 後附答案或評分原則。

詳解

由第 $15$ 題，$f(x)=\frac{16}{9x-x^2}-1$，$f'(x)=\frac{-16(9-2x)}{(9x-x^2)^2}$。因為 $f(x)$ 在 $x=5$ 處的一次近似（切線近似）為 $$f(x) \approx f(5) + f'(5)(x-5),$$ 所以代入 $x=4.96$： 1. 計算 $f(5)$： $$f(5) = \frac{16}{9\times5-5^2} - 1 = \frac{16}{45-25} - 1 = \frac{16}{20} - 1 = 0.8 - 1 = -0.2.$$ 2. 計算 $f'(5)$： $$f'(5) = \frac{-16(9-2\times5)}{(9\times5-5^2)^2} = \frac{-16(9-10)}{20^2} = \frac{-16(-1)}{400} = \frac{16}{400} = 0.04.$$ 3. 代入一次近似公式： $$f(4.96) \approx -0.2 + 0.04 \times (4.96-5) = -0.2 + 0.04 \times (-0.04) = -0.2 - 0.0016 = -0.2016.$$ 故當 $x=4.96$ 時，$\cos\theta \approx -0.2016$。

題目來源：民國111年分科測驗數學甲第17題（來源PDF第11頁）

資料版本：2026-07-17（commit e3f5a492）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈111分科測驗數學甲非選第17題詳解〉，資料版本 2026-07-17，https://twmath.com/questions/111_0XA_q17

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。