111分科測驗數學甲非選第15題詳解

已知 $|\overset{\large\rightharpoonup}{a}|=x$，$|\overset{\large\rightharpoonup}{b}|=9-x$，且 $|\overset{\large\rightharpoonup}{a}-\overset{\large\rightharpoonup}{b}|=7$。 1. 利用向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{a}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{b}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{a}-\overset{\large\rightharpoonup}{b}$ 所形成的三角形，由餘弦定理： $$|\overset{\large\rightharpoonup}{a}-\overset{\large\rightharpoonup}{b}|^2 = |\overset{\large\rightharpoonup}{a}|^2+|\overset{\large\rightharpoonup}{b}|^2 -2|\overset{\large\rightharpoonup}{a}||\overset{\large\rightharpoonup}{b}|\cos\theta.$$ 2. 代入已知值： $$49 = x^2 + (9-x)^2 - 2x(9-x)\cos\theta.$$ 因為 $(9-x)^2 = 81 - 18x + x^2$，所以 $$49 = 2x^2 - 18x + 81 - 2x(9-x)\cos\theta.$$ 3. 移項解 $\cos\theta$： $$2x(9-x)\cos\theta = 2x^2 - 18x + 81 - 49 = 2x^2 - 18x + 32,$$ $$\cos\theta = \frac{2(x^2-9x+16)}{2x(9-x)} = \frac{x^2-9x+16}{9x-x^2}.$$ 4. 將分子整理成 $\frac{c}{9x-x^2}+d$ 的形式： $$\cos\theta = \frac{x^2-9x+16}{9x-x^2} = \frac{-(9x-x^2)+16}{9x-x^2} = -1 + \frac{16}{9x-x^2}.$$ 因此 $f(x) = \frac{16}{9x-x^2} - 1$，定義域為 $1<x<8$。 5. 求導函數： $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(16(9x-x^2)^{-1} - 1\right) = 16 \cdot (-1)(9x-x^2)^{-2}\cdot(9-2x) = \frac{-16(9-2x)}{(9x-x^2)^2}.$$ 故 $f(x)=\frac{16}{9x-x^2}-1$，$f'(x)=\frac{-16(9-2x)}{(9x-x^2)^2}$。