115分科測驗數學甲非選第14題詳解

1. 因為第 $12$、$13$ 題已求得 $q(x)=x(x-1)=x^2-x$ 與 $p(x)=3x^2-4x+1$，所以被積分函數為 $p(t)-q(t)=(3t^2-4t+1)-(t^2-t)=2t^2-3t+1$。 2. 令 $g(x)=\int_1^x\left(p(t)-q(t)\right)dt=\int_1^x (2t^2-3t+1)\,dt$。積分並代入上、下限，所以 $$g(x)=\left(\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+x\right)-\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2}+1\right)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+x-\dfrac{1}{6}.$$ 3. 因為 $g'(x)=2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$，所以臨界點為 $x=\frac{1}{2}$ 與 $x=1$。 4. 因為 $g$ 是多項式函數、在閉區間 $\left[\frac{1}{2},3\right]$ 上連續，所以最大值與最小值只會出現在區間端點或臨界點，也就是 $x=\frac{1}{2}$、$x=1$、$x=3$ 三處。 5. 逐一代入計算： $$g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{24},\; g(1)=0,\; g(3)=\dfrac{22}{3}.$$ 6. 因為三個值中以 $\frac{22}{3}$ 最大、$0$ 最小，所以最大值在 $x=3$ 取得、最小值在 $x=1$ 取得。 故最大值為 $\frac{22}{3}$，最小值為 $0$。