115分科測驗數學甲非選第13題詳解

1. 因為第 $12$ 題已證得 $q(0)=q(1)=0$，所以 $0$ 與 $1$ 都是 $q(x)$ 的根。 2. 因為 $q(x)$ 是首項係數為 $1$ 的二次式，恰有兩個根 $0$ 與 $1$，所以 $q(x)=x(x-1)$。 3. 把 $q(x)$ 代回題組條件 $[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt$，得 $$x^2(x-1)^2=x\int_1^x p(t)\,dt.$$ 4. 因為兩邊都是多項式且對所有 $x$ 相等，所以可以約去共同因式 $x$，得 $\int_1^x p(t)\,dt=x(x-1)^2$。 5. 因為由微積分基本定理，左式對 $x$ 微分後等於 $p(x)$，所以對右式微分得 $$p(x)=(x-1)^2+x\cdot 2(x-1)=(x-1)\left[(x-1)+2x\right]=(x-1)(3x-1).$$ 6. 展開整理後即得 $p(x)$ 的標準式。 故 $p(x)=3x^2-4x+1$。