115分科測驗數學乙單選第6題詳解

1. 先求 $f(x)$ 的函數式： $$f(x) = \int_0^x t(t-2)\,dt = \int_0^x (t^2-2t)\,dt = \left[\frac{t^3}{3} - t^2\right]_0^x = \frac{x^3}{3} - x^2 = x^2\!\left(\frac{x}{3}-1\right).$$ 因為 $f(x)=x^2\!(\frac{x}{3}-1)$，所以零點為 $x=0$（重根）與 $x=3$， 圖形在 $x=0$ 處與 $x$ 軸相切。 2. 求臨界點： $$f'(x) = x^2 - 2x = x(x-2).$$ 因為 $f'(x) > 0$ 在 $x < 0$ 或 $x > 2$，$f'(x) < 0$ 在 $0 < x < 2$， 所以 $x=0$ 為極大點，$x=2$ 為極小點。 3. 由以上分析：$f(0)=0$（極大，與 $x$ 軸相切）， $f(2)=\frac{8}{3}-4=-\frac{4}{3}$（極小），$f(3)=0$（穿越 $x$ 軸）。 此特性符合選項 $(2)$ 的圖形。 故選 $(2)$。