115分科測驗數學乙多選第7題詳解

因為每篇文章是否按讚為獨立事件，且按讚機率皆為 $\frac{1}{3}$。 $(1)$ 因為各篇獨立，所以第 $4$ 篇按讚的機率仍為 $\frac{1}{3}$。正確。 $(2)$ 因為各篇獨立，所以條件機率等於原機率： $P(\text{第2篇按讚}\mid\text{第1篇按讚}) = \frac{1}{3}$，並未小於 $\frac{1}{3}$。錯誤。 $(3)$ 恰對 $2$ 篇按讚的機率為 $$C^4_2\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^2\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^2 = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}.$$ 而 $\frac{8}{27} \neq \frac{4}{81}$。錯誤。 $(4)$ 至少 $2$ 篇按讚的機率為 $1$ 減去「$0$ 篇」與「$1$ 篇」的機率： $$1 - \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^4 - C^4_1\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^3 = 1 - \frac{16}{81} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{27} = 1 - \frac{16}{81} - \frac{32}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}.$$ 正確。 $(5)$ 至少連續 $2$ 篇按讚的機率，可用補集（沒有相鄰按讚）計算。 在 $4$ 篇中，沒有相鄰按讚的情形： $0$ 篇按讚有 $1$ 種，$1$ 篇按讚有 $4$ 種， $2$ 篇按讚且不相鄰有 $(1,3),(1,4),(2,4)$ 共 $3$ 種 （$3$ 篇以上必定有相鄰）。 補集機率為 $$\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^4 + 4\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^3 + 3\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^2\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^2 = \frac{16}{81} + \frac{32}{81} + \frac{12}{81} = \frac{60}{81} = \frac{20}{27}.$$ 所以至少連續 $2$ 篇按讚的機率為 $$1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}.$$ 正確。 故選 $(1)(4)(5)$。