115分科測驗數學乙多選第8題詳解

已知 $10^{a_3}=2$，$10^{a_5}=5$，即 $a_3=\log 2$，$a_5=\log 5$。 因為 $\langle a_k\rangle$ 為等差數列，所以公差 $$d = \frac{a_5-a_3}{2} = \frac{\log 5 - \log 2}{2}.$$ $(1)$ 因為 $10^{a_{k+1}} / 10^{a_k} = 10^{a_{k+1}-a_k} = 10^{d}$ 為常數， 所以 $10^{a_1},10^{a_2},\ldots,10^{a_7}$ 為等比數列。正確。 $(2)$ $a_7 = a_5 + 2d = \log 5 + (\log 5 - \log 2) = \log\frac{25}{2}$， 所以 $10^{a_7} = \frac{25}{2}$。正確。 $(3)$ $a_4 = \frac{a_3+a_5}{2} = \frac{\log 2 + \log 5}{2} = \frac{\log 10}{2} = \frac{1}{2}$。 而 $\log\frac{7}{2} = \log 3.5 \neq \frac{1}{2}$。錯誤。 $(4)$ $a_1 = a_3 - 2d = \log 2 - (\log 5 - \log 2) = \log\frac{4}{5} < 0$。錯誤。 $(5)$ $\sum\limits_{k=3}^{6}(a_{k+1}-a_k) = a_7 - a_3 = 4d = 2(\log 5 - \log 2) = 2(\log\frac{5}{2}) = 2(1 - 2\log 2) = 2 - 4\log 2$。正確。 故選 $(1)(2)(5)$。