115分科測驗數學乙多選第9題詳解

已知最適直線 $L$ 通過點 $(6.8,0)$ 與平均點 $(24.8,12.6)$。 因此直線 $L$ 的斜率為 $$m = \frac{12.6 - 0}{24.8 - 6.8} = \frac{12.6}{18} = 0.7.$$ $(1)$ 將 $(12.6,24.8)$ 代入：$24.8 - 12.6 = 12.2$， 但 $0.7(12.6-6.8)=0.7\times5.8=4.06 \neq 12.2$，故不通過。錯誤。 $(2)$ 斜率為 $0.7$，不是 $0.8$。錯誤。 $(3)$ 當 $x = 46.8$ 時， $$y = 0 + 0.7 \times (46.8 - 6.8) = 0.7 \times 40 = 28.$$ 正確。 $(4)$ 因為相關係數 $r = m \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y}$， 所以 $0.8 = 0.7 \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \implies \frac{\sigma_x}{\sigma_y} = \frac{8}{7} > 1$， 因此 $\sigma_x > \sigma_y$。正確。 $(5)$ 若交換 $x,y$，新迴歸直線斜率為 $$r \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y} = 0.8 \cdot \frac{8}{7} = \frac{32}{35},$$ 而 $\frac{32}{35} \neq \frac{10}{7}$。錯誤。 故選 $(3)(4)$。