115分科測驗數學乙選填第10題詳解

因為 $A = \begin{bmatrix}a & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$，所以 $$A^2 = \begin{bmatrix}a & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a^2 & a+1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.$$ 因此 $$A^2+2A = \begin{bmatrix}a^2 & a+1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2a & 2 \\ 0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a^2+2a & a+3 \\ 0 & 3\end{bmatrix}.$$ 因為 $A^2+2A = 3I = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$， 比較 $(1,2)$ 元素得 $a+3=0$，所以 $a=-3$。 （代入 $(1,1)$ 檢驗：$a^2+2a = 9-6 = 3$，符合。） 故 $a = -3$。