108指考數學甲選填第9題詳解

將已知的新坐標與舊坐標代入坐標變換公式： $$\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ s \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$$ 移項整理得： $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \end{bmatrix}$$ 展開矩陣乘法建立方程組： $$\begin{cases} r = 3 \\ -r + 2s = -5 \end{cases}$$ 將 $r=3$ 代入第二式： $$-3 + 2s = -5 \implies 2s = -2 \implies s = -1$$ 因此 $(r, s) = (3, -1)$。