90大學聯考數學（自然組）選填第10題詳解

因為設 $M = \begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{bmatrix}$ 是一個 $3 \times 2$ 矩陣。 依題意： $$M \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \implies a=3, b=2, c=1$$ $$M \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & d \\ 0 & e \\ 0 & f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \implies d=1, e=2, f=3$$ 由此可得矩陣 $M = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$。 計算要求的值： $$M \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$ 所以故所求矩陣為 $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$。