103指考數學甲非選第13題詳解

$(1)$ $(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (1+2i+i^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$。 所以 $a_4 = -4$、$b_4 = 0$，$a_4^2 + b_4^2 = 16$。 $(2)$ 由 $(1+i)^{n+1} = (1+i)(1+i)^n = (1+i)(a_n + i b_n) = (a_n - b_n) + i(a_n + b_n)$。 因此 $a_{n+1} = a_n - b_n$、$b_{n+1} = a_n + b_n$。 寫成矩陣形式：$\begin{bmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_n \\ b_n \end{bmatrix}$，所以 $T = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$。 $(3)$ 矩陣 $T$ 對應的線性變換為先放大 $\sqrt{2}$ 倍（因為 $|1+i| = \sqrt{2}$），再旋轉 $45^\circ$（因為 $1+i$ 的幅角為 $45^\circ$）。 因此對於任意非零向量，其像的長度皆為原長的 $\sqrt{2}$ 倍，且任意兩個非零向量的夾角在變換前後保持不變。 因為 $\frac{\overline{OP'}}{\overline{OP}} = \frac{\overline{OQ'}}{\overline{OQ}} = \sqrt{2}$，且兩向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}$ 的夾角等於 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP'}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OQ'}$ 的夾角，所以 $(3)$ 得證。