105指考數學甲多選第6題詳解

設二階方陣 $M = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$。 根據題目已知條件： $M A = B \implies \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} 3p - 2q = 3 \\ 3r - 2s = 2 \end{cases}$ $M B = C \implies \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} 3p + 2q = -3 \\ 3r + 2s = 2 \end{cases}$ 聯立求解可得： - 由 $3p-2q=3$ 與 $3p+2q=-3$ 相加得 $6p=0 \implies p=0$，代回得 $q=-\dfrac{3}{2}$。 - 由 $3r-2s=2$ 與 $3r+2s=2$ 相加得 $6r=4 \implies r=\dfrac{2}{3}$，代回得 $s=0$。 故方陣 $M = \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{2}{3} & 0 \end{bmatrix}$。 3. 逐一檢驗各選項： 選項 $(1)$：因為 $\det(M)=0\cdot 0-\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot\frac{2}{3}=1$，而鏡射變換的行列式值必為 $-1$，所以不是鏡射變換。故錯誤。 選項 $(2)$：因為 $MA=B$ 且 $MB=C$，所以 $M\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$。故正確。 選項 $(3)$：計算 $MC$ 與 $MD$： $$MC = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} \\ \frac{2}{3} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \end{bmatrix} = D$$ $$MD = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} \\ \frac{2}{3} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = A$$ 所以 $M$ 將 $C$ 映射到 $D$ 且將 $D$ 映射到 $A$。故正確。 選項 $(4)$：因為 $\det(M)=1$，不是 $-1$。故錯誤。 選項 $(5)$：計算 $M^2$： $$M^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} \\ \frac{2}{3} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} \\ \frac{2}{3} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$$ 因為 $M^2=-I$，所以 $M^3 = M^2\cdot M = -I\cdot M = -M$。故正確。 綜合以上，正確選項為 $(2)(3)(5)$。