107指考數學甲多選第4題詳解

📅 107 年 📝 指考數學甲第 4 題題型：多選課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$(1)(4)$

本題考點：定積分、積分的意義、黎曼和、面積

設 $f(x)=-x^2+499$，且 $A=\int_0^{10} f(x)\,dx$，$B=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{9} f(n)$，$C=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{10} f(n)$，$D=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{9}\dfrac{f(n)+f(n+1)}{2}$。試選出正確的選項。

$A$ 表示在坐標平面上函數 $y = -x^2 + 499$ 的圖形與直線 $y = 0$、$x = 0$、$x = 10$ 所圍成的有界區域的面積
$B < C$
$B < A$
$C < D$
$A < D$

定積分積分的意義黎曼和面積微積分

解題手法單調性分析〔AI 推測〕

答案

$(1)(4)$

多選題

詳解

在區間 $[0,10]$ 上，$f(x)=-x^2+499>0$，且 $f'(x)=-2x<0$、$f''(x)=-2<0$，所以圖形遞減且凹向下。 $(1)$ $A=\int_0^{10}f(x)\,dx$ 表示曲線 $y=f(x)$ 與 $y=0$、$x=0$、$x=10$ 所圍成的面積，正確。 $(2)$、$(3)$ 因為 $f$ 遞減，左端點和 $B$ 大於積分值 $A$，右端點和 $C$ 小於 $A$，所以 $B<C$、$B<A$ 皆錯誤。 $(4)$ $D=\frac{B+C}{2}$，且 $B>C$，故 $C<D<B$，所以 $C<D$ 正確。 $(5)$ 因 $f$ 凹向下，梯形和 $D$ 小於積分值 $A$，故 $A<D$ 錯誤。正確選項為 $(1)(4)$。

題目來源：民國107年指考數學甲第4題（來源PDF第2頁）

資料版本：2026-05-31（commit 5558697c）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈107指考數學甲多選第4題詳解〉，資料版本 2026-05-31，https://twmath.com/questions/107_07A_q04

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。