107指考數學甲多選第5題詳解

設 $P(a,b)$、$Q(c,d)$ 為 $y=\log_2 x$ 上的點，則 $b=\log_2 a$，$d=\log_2 c$。 因為 $\overline{PQ}$ 的中點在 $x$ 軸上，所以 $\frac{b+d}{2}=0$，得 $d=-b$。 由 $b+d=0$ 即 $\log_2 a+\log_2 c=0$，得 $\log_2(ac)=0$，所以 $ac=1$。 選項 $(1)$：因為 $P,Q$ 為相異兩點，可設 $a>1$（則 $c=\frac{1}{a}<1$），此時 $b>0$、$d<0$。斜率 $$m=\frac{b-d}{a-c}=\frac{2b}{a-\frac{1}{a}}>0$$ 因為分子 $2b>0$ 且分母 $a-\frac{1}{a}>0$，所以 $m>0$。此選項正確。 選項 $(2)$：$bd=b(-b)=-b^2$，因為 $b$ 取決於 $a$ 的值，所以 $bd$ 不恆等於 $-1$。此選項錯誤。 選項 $(3)$：$ac=1$。此選項正確。 選項 $(4)$：直線 $L$ 的方程式為 $y-b=m(x-a)$。$y$ 截距為 $x=0$ 時的 $y$ 值： $$y=b-ma=b-\frac{2ab}{a-\frac{1}{a}}=b\left(1-\frac{2a^2}{a^2-1}\right)=-b\cdot\frac{a^2+1}{a^2-1}$$ 取 $a=2$（此時 $b=1$），$y$ 截距為 $-\frac{5}{3}<-1$。此選項錯誤。 選項 $(5)$：$x$ 截距為 $y=0$ 時的 $x$ 值： $$x=a-\frac{b}{m}=a-\frac{b(a-\frac{1}{a})}{2b}=a-\frac{a-\frac{1}{a}}{2}=\frac{a+\frac{1}{a}}{2}$$ 因為 $a\neq 1$，由算幾不等式得 $\frac{a+\frac{1}{a}}{2}>1$。此選項正確。 故選 $(1)(3)(5)$。