106指考數學甲多選第7題詳解

1. 設 $h(x)=f(x)-g(x)$。因為 $f(x)$ 為首項係數為正的三次多項式，而 $g(x)$ 為一次函數（直線），所以 $h(x)$ 也是首項係數為正的三次多項式。 2. 因為 $y=f(x)$ 與 $y=g(x)$ 在 $x=1$ 處相切，所以 $h(1)=0$ 且 $h'(1)=0$，即 $x=1$ 為 $h(x)=0$ 的重根（至少雙重根）。 3. 又因為兩圖形只有一個交點，所以 $x=1$ 是 $h(x)=0$ 的唯一實根。結合雙重根的條件，$x=1$ 必須是 $h(x)=0$ 的三重根。因此 $h(x)=k(x-1)^3$，其中 $k>0$（因為 $h(x)$ 首項係數為正）。 4. 逐一分析選項： 選項 $(1)$：$f(1)-g(1)=h(1)=0$，所以 $f(1)=g(1)$。正確。 選項 $(2)$：$f'(1)-g'(1)=h'(1)=3k(1-1)^2=0$，所以 $f'(1)=g'(1)$。正確。 選項 $(3)$：$h''(x)=6k(x-1)$，所以 $h''(1)=f''(1)-g''(1)=0$。因為 $g(x)$ 是直線，$g''(x)=0$ 恆成立，所以 $f''(1)=0$。正確。 選項 $(4)$：若存在 $a\neq 1$ 使 $f'(a)=g'(a)$，則 $h'(a)=3k(a-1)^2=0\implies a=1$，矛盾。錯誤。 選項 $(5)$：若存在 $a\neq 1$ 使 $f''(a)=g''(a)$，則 $h''(a)=6k(a-1)=0\implies a=1$，矛盾。錯誤。 故選 $(1)(2)(3)$。