106指考數學甲多選第6題詳解

1. 將 $z^n+z^{-n}+2=0$ 兩邊同乘以 $z^n$（$z\neq 0$），得 $$(z^n)^2+2z^n+1=0\implies(z^n+1)^2=0$$ 所以 $z^n=-1$。 2. 令 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，由棣美弗定理得 $z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=-1=1(\cos\pi+i\sin\pi)$。 選項 $(1)$：因為 $r>0$ 且 $r^n=1$，所以 $r=1$。正確。 選項 $(2)$：對於任意正整數 $n$（不論奇偶），$z^n=-1$ 都有解。例如 $n=2$ 時 $z^2=-1$，解為 $z=\pm i$。錯誤。 選項 $(3)$：因為 $z^n=-1$，所以 $n\theta=\pi+2k\pi$，即 $\theta=\frac{(2k+1)\pi}{n}$，$k=0,1,\ldots,n-1$。共有 $n$ 個不同解，不是 $2n$ 個。錯誤。 選項 $(4)$：若 $\theta=\frac{3\pi}{7}$，則 $\frac{2k+1}{n}=\frac{3}{7}$。取 $n=7$、$k=1$ 時滿足（$(2\cdot 1+1)/7=$\frac{3}{7}$$），所以 $\theta$ 可能為 $\frac{3\pi}{7}$。正確。 選項 $(5)$：若 $\theta=\frac{4\pi}{7}$，則 $\frac{2k+1}{n}=\frac{4}{7}$，即 $7(2k+1)=4n$。因為左式為奇數、右式為偶數，等式不可能成立，故無整數解。錯誤。 故選 $(1)(4)$。