105學測數學單選第4題詳解

設開始紀錄時物質 $B$ 的質量為 $M$，則物質 $A$ 的質量為 $2M$。設 $B$ 的半衰期為 $T$ 小時。 1. 因為每經過一個半衰期質量減半，所以經過 $120$ 小時後兩者的質量分別為 $$2M\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{120}{7.5}}=2M\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16},\;M\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T}}.$$ 2. 因為 $120$ 小時後兩質量相同，所以 $$2M\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}=M\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T}}.$$ 3. 兩邊同除以 $M$ 並把左式的 $2$ 寫成 $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$，所以 $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T}}.$$ 因為底數 $\frac{1}{2}$ 的指數函數是一對一的，所以可以比較指數，得 $\frac{120}{T}=15$，解得 $T=8$。 故選 $(1)$。