99學測數學選填第14題詳解

1. $f(x)$ 為實係數最低次多項式，首項係數 $1$。已知方程 $f(x)=0$ 的根有 $3-2i$、$i$、$5$。 2. 因為 $f(x)$ 為實係數，所以由共軛根定理： - $3-2i$ 為根，其共軛 $3+2i$ 亦為根； - $i$ 為根，其共軛 $-i$ 亦為根。 再加上實根 $5$，共有 $5$ 個根。 3. 因此 $f(x)$ 為五次多項式： \begin{aligned} f(x)&=(x-5)(x-i)(x+i)[x-(3-2i)][x-(3+2i)]\\[4pt] &=(x-5)(x^2+1)[(x-3)^2+4]\\[4pt] &=(x-5)(x^2+1)(x^2-6x+13) \end{aligned} 4. 常數項即 $f(0)$： $$f(0)=(-5)\times(1)\times(13)=-65$$ 故常數項為 $-65$。