101學測數學單選第7題詳解

球面與平面 $3x + 4y = 0$ 相切於原點 $O(0,0,0)$。我們分析三個坐標軸與球面的交點關係： 1. $z$ 軸與球面的交點： 平面 $3x + 4y = 0$ 的法向量為 $(3, 4, 0)$，其平行於 $xy$ 平面，故該平面平行且包含 $z$ 軸。 由於球面與平面相切於原點，該平面上所有通過原點的直線都是球面的切線。 因為 $z$ 軸落在該切平面上且通過切點原點，所以 $z$ 軸是該球面的切線，與球面僅有唯一交點，即原點 $O(0,0,0)$。 2. $x$ 軸與 $y$ 軸與球面的交點： 我們看 $xy$ 平面（即 $z=0$）的截面。球面在 $xy$ 平面上的截線是一個圓，此圓與直線 $3x + 4y = 0$ 在原點相切。 因為直線 $3x + 4y = 0$ 與 $x$ 軸、 $y$ 軸在原點相交，且圓與該直線切於原點，則此圓除了原點 $O$ 之外，必會分別與 $x$ 軸及 $y$ 軸各交於一個相異點。 綜合以上，球面與三個坐標軸的交點有： * $z$ 軸：原點 $O$（$1$ 個） * $x$ 軸：原點 $O$ 及另一點（共 $2$ 個） * $y$ 軸：原點 $O$ 及另一點（共 $2$ 個） 由於原點 $O$ 重複計算，故去重後的總交點數為 $1 + 1 + 1 = 3$ 個。 故選 $(3)$。